PLANO INCLINADO

Um pouco de história da ciência: Galileu e o Plano Inclinado

Durante os estudos realizados por Galileu a respeito da Queda livre, o plano inclinado teve um papel imprescindível. Em seu livro Duas Novas Ciências, o autor traz uma discussão entre seus personagens abordando o problema do plano inclinado e demonstra matematicamente que o espaço percorrido por um corpo é proporcional ao quadrado do tempo (GALILEU, 1988).

Para compreender melhor o teorema demonstrado por Galileu, vamos analisar sua definição de movimento acelerado, na qual considera que quando um corpo parte do repouso adquire em tempos iguais momentos iguais de velocidade (GALILEU, 1988), Equação 1.

Considerando então um corpo em queda livre, temos que o espaço percorrido por ele em qualquer instante é igual ao quadrado dos tempos, em termos algébricos:

Para Galilei, (1988, p.167): “Os graus de velocidade alcançados por um mesmo móvel em planos diferentemente inclinados são iguais quando as alturas desses planos também são iguais”. Para uma melhor compreensão vamos analisar a Figura 1 extraída da obra de Galilei, que mostra três possíveis trajetórias para um corpo partindo do ponto C que ao chegar ao ponto B, D ou A teriam a mesma velocidade independente do trajeto percorrido.

Figura 1: Plano Inclinado de Galileu

Fonte: Galileu, 1988, p.167

O filósofo também analisou planos com alturas iguais e inclinações diferentes e concluiu que a razão dos tempos empregados pra descer os planos diversamente inclinados é igual a razão de seus comprimentos (desde que tenham a mesma altura), é expresso pela Equação 3:

Galileu também considerou planos com comprimentos iguais e alturas diferentes e concluiu que os tempos empregados na descida por planos de mesmo comprimento é igual a proporção inversa das raízes quadradas e suas respectivas alturas (considerando diferentes inclinações), como mostra a Equação 4:

Galileu também descreve o experimento supostamente realizado para a elaboração do teorema:

Numa ripa ou, melhor dito, numa viga de madeira com um comprimento aproximado de 12 braças, uma largura de meia braça num lado a três dedos do outro, foi escavada uma canaleta neste lado menos largo com um pouco mais de um dedo de largura. No interior desta canaleta perfeitamente retilínea, para ficar bem polida e limpa, foi colada uma folha de pergaminho que era polida para ficar bem lisa; fazíamos descer por ele uma bola de bronze duríssima perfeitamente redonda e lisa. Uma vez construído o mencionado aparelho, ele era colocado numa posição inclinada, elevando-se sobre o horizonte uma de suas extremidades até a altura de uma ou duas braças, e se deixava descer a bola pela canaleta, anotando como exporei mais adiante o tempo que empregava para uma descida completa; repetindo esta experiência muitas vezes para determinar a quantidade de tempo, na qual nunca se encontrava uma diferença nem mesmo da décima parte de uma batida de pulso. Feita e estabelecida com precisão tal operação, fizemos descer a mesma bola apenas a quarta parte do comprimento total da canaleta; e, medido o tempo de queda, resultava ser rigorosamente igual à metade do outro. Variando a seguir a experiência e comparando o tempo requerido para percorrer todo o comprimento com o tempo requerido para percorrer a metade, ou dois terços ou três quartos, ou qualquer outra fração, por meio de experiências repetidas mais de cem vezes, sempre se encontrava que os espaços percorridos estavam entre si com os quadrados dos tempos e isso em todas as inclinações do plano, ou seja, da canaleta, pela qual se fazia descer a bola. Observamos também que os tempos de queda para as diferentes inclinações mantinham exatamente entre si aquela proporção que, como veremos mais adiante, foi encontrada e demonstrada pelo autor. No que diz respeito à medida do tempo, empregávamos um grande recipiente cheio de água, suspenso no alto, o qual por um pequeno orifício feito no fundo deixava cair um fino fio de água, que era recolhido num pequeno copo durante todo o tempo que a bola descia pela canaleta ou por suas partes. As quantidades de água assim recolhidas eram a cada vez pesadas com uma balança muito precisa, sendo as diferenças e proporções entre os pesos correspondentes às diferenças proporções entre os tempos; e isto com tal precisão que, como afirmei, estas operações, muitas vezes repetidas, nunca diferiam de maneira significativa.

        

Simplício: Teria sido grande a satisfação em presenciar tais experiências; contudo, estando certo do seu zelo em efetuá-las e de sua fidelidade em relatá-las, não tenho escrúpulo em aceitá-las como verdadeiras e certas (GALILEU, 1988, p.174-175).

Modelando o Experimento no software Algodoo

Experimento realizado no Software Algodoo, com o tema: Plano inclinado

Fonte: Experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Com base na descrição fornecida por Galileu sobre o experimento do plano inclinado, montamos a seguinte modelagem:

1º Momento:

1ª Etapa: Como ponto de partida é necessário construir um plano inclinado na forma de um triângulo retângulo de inclinação arbitrária como mostra a Figura 2:

Figura 2: Construção do plano inclinado 

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

2ª Etapa: Sobre o plano inclinado deve-se modelar um círculo de massa e volume aleatório e selecionar a opção vetorial, para facilitar a análise componentes vetoriais, força, normal e velocidade, assim como mostra a Figura 3:

Figura 3: Experimento do plano inclinado com as componentes vetoriais selecionadas 

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

O experimento pode ser repetido com planos inclinados de diferentes comprimentos e alturas.

2º Momento:

1ª Etapa: Para trabalhar a Energia Mecânica e a sua conservação, é necessário construir uma rampa, para isso, é preciso modelar dois planos inclinados ligados por um arco, de modo que os dois lados tenham a mesma inclinação e a mesma altura, como mostra a Figura 4:

Figura 4: Rampa formada por dois planos inclinados e um arco 

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

2ª Etapa: Após a construção da rampa, deve-se colocar sobre o arco uma circulo e tamanho e densidade arbitrários, como mostra a Figura 5 e acionar a opção de análise vetorial.

Figura 5: Rampa para o estudo da Energia Mecânica 

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

O experimento pode ser realizado com a resistência do ar ou no vácuo, conforme o objetivo da aula.

Sugestões à modelagem do experimento:

Ao analisar o movimento do corpo sob o plano inclinado, é imprescindível que o professor incentive os alunos a utilizarem sua criatividade e verificarem suas hipóteses, variando o ângulo de inclinação, alterando ou calibrando a escolha dos vetores, o valor da atração gravitacional, o atrito com o ar, alternado as características físicas do objeto e da superfície do plano inclinado.

Além da força e da velocidade, o plano inclinado permite a análise e reflexão de outras partes da física como, por exemplo, a energia mecânica, por isso, no segundo momento desta simulação foi modelada a seguinte situação.

No segundo momento do experimento todas as características tanto da rampa quanto do corpo que será posto em movimento podem ser alteradas também, desta maneira é possível trabalhar com os alunos a Transformação de Energia (Potencial Gravitacional em Energia Cinética), variando o atrito com o ar e com a superfície, é possível calcular a energia dissipada e, desconsiderando qualquer forma de atrito, é interessante trabalhar a Conservação da Energia Mecânica.